Курс «Решение задач с помощью линейных уравнений»
Алгебра 7 класс

Анотация
к курсу «Решение задач с помощью линейных уравнений»

Решение линейных уравнений и решение задач с помощью линейных уравнений.
Данный курс предлагает несколько последних уроков по данной теме. Особое внимание сконцентрировано на решении задач с помощью линейных уравнений.
На протяжении многих столетий алгебра развивалась как наука об уравнениях. С уравнениями школьники знакомятся еще в младшей школе, а, начиная с 6 класса, учащиеся учатся решать задачи не по действиям, а составляя и решая уравнения.
В этот момент очень важно , чтобы они поняли глубину понятий: «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение», «равносильные уравнения», «свойства уравнений».
Если этот процесс пройдет удачно, если эти понятия станут базовыми и глубокими, то и решение задач с помощью уравнений на всех уровнях, в разных классах, в различных темах не будет вызывать у учащихся особых сложностей.
Первой темой в 7 классе является тема: «Линейные уравнения с одной переменной». Программные требования к данной теме заключаются в следующем:
- Учащиеся должны распознавать линейные уравнения среди предложенных уравнений,
- Уметь приводить примеры линейных уравнений,
- Характеризовать этапы решения задач с помощью уравнений,
- Уметь решать линейные уравнения и уравнения, которые сводятся к ним,
- Уметь решать текстовые задачи, которые решаются с помощью линейных уравнений с одной переменной.
Мы остановимся на решении задач с помощью уравнений. Уравнение как математическая модель задачи.
Курс предлагает разработку уроков, которая включает как теоретическую часть, так и практическую. Здесь предложены тексты самостоятельных и контрольных работ в двух вариантах, которые составлены с учетом четырех уровней достижений учащихся. Тексты контрольных работ, задания для подготовки к контрольной работе и домашнее задание перед контрольной работой, взяты из сборника контрольных работ по алгебре для 7 класса, одним из авторов которого, является автор данного курса. Задачи для работы на уроках и домашнее задание взяты из учебника «Алгебра. 7 класс. О.С. Истер».
Автор надеется, что хотя бы малые элементы данного курса будут полезны учителям при подготовке и проведении уроков.

Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».

І Актуализация опорных знаний.
Математический диктант
Вариант № 1
Вариант № 2
Запишите выражение, которое показывает, что:
а) сумма чисел Х и 20 равна 25
б) сумма чисел Х и числа, которое на 5
больше, чем Х, равна 39
в) сумма числа Х и числа, которое на 16 меньше, чем Х, равна 23
г) сумма числа Х и числа, которое в три раза больше, чем Х, равна 17
д) число Х на 5 больше, чем число 20
е) число 15 больше, чем сумма чисел Х и 2 на 10
а) сумма чисел Х и 15 равна 20
б) сумма числа Х и числа, которое на 10 больше, чем Х, равна 28
в) сумма числа Х и числа, которое на 13 меньше, чем Х, равна 41
г) сумма числа Х и числа, которое в два раза больше, чем Х, равна 25
д) число Х на 29 больше, чем число 13
е) число 15 больше, чем разность чисел Х и 3, на 11
ІІ Изучение нового материала.

Какие задачи называются прикладными?
Что такое математическая модель задачи?
Схема решения задач методом математического моделирования.
Уравнение как математическая модель прикладной задачи.
Примеры решения задач с помощью линейных уравнений.

Алгоритм решения задач с помощью уравнений:
Определить, какие величины неизвестны.
Обозначить одну из них буквой (ввести переменную).
Выразить остальные величины через ту, которую обозначили буквой.
Составить уравнение (математическую модель) согласно условию задачи.
Решить уравнение.
Проверить, удовлетворяют ли корни уравнения условию задачи.
Найти оставшиеся неизвестные величины.

ІІІ Закрепление новых знаний.

Задача.
За 7 карандашей и 3 ручки заплатили 5 грн.65 коп. Сколько стоит один карандаш, если он дешевле ручки на 55 коп.?
Разберем решение задачи по алгоритму.
Неизвестные величины: стоимость одного карандаша и одной ручки.
Обозначим стоимость одного карандаша за Х грн.
Тогда стоимость ручки будет Х+ 0,55 грн.
Согласно условию задачи составим уравнение :

7Х + 3 ( Х+0,55)=5,65
7Х + 3Х +1,65 = 5,65
10Х =5,65-1,65
10Х = 4
Х = 0,4
Карандаш стоит 0,4 грн., а ручка: 0,4 + 0,55= 0,95 грн.
Ответ : 0,4 грн., 0,95 грн.
В корзине яблок в 4 раза меньше, чем в ящике. После того, как из ящика переложили в корзину 1.5кг яблок, в корзине стало в 3 раза меньше, чем в ящике. Сколько кг яблок было в корзине и ящике сначала?
Решим эту задачу, следуя алгоритму. Внесем данные в таблицу:

Было
Действия с предметами
Стало
Ящик
4Х, кг
4Х – 1,5, кг
4Х – 1,5, кг
Корзина
Х, кг
Х + 1,5, кг
(Х + 1,5)×3, кг

Составим и решим уравнение:
4Х - 1,5 = (Х + 1,5)×3
4Х – 1,5 = 3Х + 4,5
4Х – 3Х = 4,5 + 1,5
Х = 6
6 × 4 = 24(кг)
Ответ: 24кг и 6кг.
ІV Домашнее задание: § 3,
стр.23, № 101, 119.

Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».

Последний урок перед тем, как перейти к решению задач с помощью уравнений.

І Актуализация опорных знаний.
Выполнение устных упражнений:
1)Среди наведенных выражений укажите:
а) уравнения,
б) линейные уравнения.
3Х = 0; 3Х + 5; 2 + 5 = 7; Х²= 4; 1/2Х + 1 = 6; 5÷Х + 2 = 7; 3Х + 4=12;
2Х²+ 1 = 6
2) Докажите, что:
а) число 5 является корнем уравнения 7Х – 4 = 31
б) число 5 является корнем уравнения Х2 - 6Х + 5 = 0
в) число 3 не является корнем уравнения Х2 - 6Х + 5 = 0
3) Можно ли утверждать, что уравнение Х2 - 6Х + 5 = 0 развязано, если известно, что оно не имеет решений?
4) Можно ли утверждать, что уравнение 3Х2 + 4 = 5Х развязано, если известно, что оно не имеет решений?
5)Укажите 2 уравнения, которые равносильные уравнению 5Х = 25.
6) Равносильные ли уравнения Х2 = -3 и Х2 = -4?
II Решение уравнений
а) 3Х + 7= 0
б) 7Х – 4 = Х – 16
в) 3Х – (5 – Х) = 11
г)15(Х +2) = 6(2Х +7)
д) 6 │Х│ – 30 = 0
е) │Х + 4│ = 8
III Самостоятельная работа
Вариан 1 Вариан 2
1. Решите уравнение:
а)1/3 Х+4=0
б) 23Х + 20(1,6 – Х) = -1
в) 6 – (Х-1)/2 = (3-Х)/2+ (Х-2)/3 а) 2Х – 1/4 = 0
б) 17Х – 30(1,2 – Х) = -83
в) (Х-3)/6+ Х= (2Х-1)/3-(4-Х)/2
2. Найдите решения уравнений:
а) 5IХI – 10 = 0
б) IХ + 4I = 6 а) 3IХI – 12 = 0
б) IХ - 3I = 9
3. При каком значении параметра а уравнение
аХ – 3 – 89 имеет корень, который равен -2? 5 = 3Х + а имеет корень, который равен -1?


IV Домашнее задание:
Противоположный вариант; повторить теорию.


Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».

I Проверка домашнего задания:
№101:
По Х (кг) – было сахара изначально в 2х мешках.
(Х - 8) = Х + 8
2Х – 16 = Х +8
2Х – Х = 8 +16
Х = 24
Ответ: 24кг
№119
Х (см) – ширина прямоугольника.
2Х (см) – его длина.
(Х + 2Х)×2 = 36
3Х = 36÷2
3Х = 18
Х = 6(см)
2Х=2×6 = 12(см)
S = а×b = 6×12=72(см2)
Ответ: 72см2
II Актуализация опорных знаний
Вариант 1 Вариант 2
Запишите выражение, при помощи которого можно найти:
а) периметр прямоугольника, одна сторона которого равна а см, а вторая – на 3см больше;
б) расстояние, которое преодолевает велосипедист за 3 часа, двигаясь со скоростью V км/ч;
в) скорость, которую развивает авто, преодолевая 120км за t часов;
г) расстояние, которое преодолевает катер по течению реки за 6 часов, если его собственная скорость V км/ч, а скорость течения – 2 км/ч;
д) сумму цифр числа, в котором а десятков и b единиц.

а) периметр прямоугольника, одна сторона которого равна а см, а другая - на 5 меньше;
б) расстояние, которое преодолевает велосипедист за t часов, двигаясь со скоростью 15 км/ч;
в) время, за которое автомобиль пройдет 150 км, двигаясь со скоростью V км/ч;
расстояние, которое преодолеет катер против течения реки за 5 часов, если его собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения -V км/ч;
г) сумму цифр числа, в котором Х единиц и У десятков.

ІІІ Решение задач.

Начальный и средний уровни:
Задача: Периметр прямоугольника 36см, причем одна из на 4см більше, чем другая. Найти стороны и площадь прямоугольника.

Решение: Пусть ширина прямоугольника Х(см), тогда длина Х + 4(см). По условию периметр рамен 36см, составим уравнение:
2(Х + Х +4) = 36
2Х + 4 = 18
2Х = 14
Х = 7(см)
Х + 4 = 7 +4 =11(см)
S = 11×7 = 77(см2)
Ответ: 77см2.

Достаточный и високий уровни:
Задача: Один арбуз на 5кг легче, чем второй и в 3 раза легче, чем третий. Первый и третий вместе в 2 раза тяжелее, чем второй. Найти массу второго арбуза.


Решение: Пусть первый арбуз Х(кг), тогда второй: Х + 5(кг), а третий – 3Х(кг). По условию, первый и третий в 2 раза тяжелее второго, составим и решим уравнение:
Х + 3Х = 2(Х +5)
4Х = 2Х + 10
2Х = 10
Х = 5(кг) – первый арбуз
Х + 5 = 5 + 5 = 10(кг) – второй
3×5 = 15(кг) – третий
Ответ: 5кг; 10кг; 15кг.
IV Домашнее задание: §1-3;
№ 84; 94; 100.

Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».

І Проверка домашнего задания:
№ 84
430 рабочих{█(I – Х (раб)@II – Х + 12 (раб)@II – Х + 12 (раб))┤
Уравнение:
Х + Х + 12 + Х + 12 + 31 =430
3Х = 430 – 31 – 12 – 12
3Х = 375
Х = 125 – I цех
Х + 12 = 125 + 12 + 137(раб) – II цех
Х + 12 + 31 = 125 +43 = 168(раб) – III цех
Ответ: 125 рабочих; 137 рабочих.
№ 90
Было Действия с предметами Стало
I пачка Х Х - 24 (Х – 24)×4
І пачка Х Х + 24 Х + 24

Составим и решим уравнение:
4(Х – 24) = Х + 24
4Х – 96 = Х + 24
4Х – Х = 96 + 24
3Х = 120
Х = 40(тетр)
Ответ: по 40 тетрадей.
№ 100
Х(кг) – масса бидона.
Уравнение:
Х = 25 + 0,5Х
Х – 0,5Х = 25
0,5Х = 25
Х = 25÷0,5
Х = 50.
Ответ: 50кг.
II Решение задач на движение:
а) задачи на движение по и против течения:
Лодка по тече нию плыла 2,5часа, а против течения – 3,6 часа. Расстояние, которое прошла лодка по тече нию, на 7,6 км менше, чем расстояние, которое она прошла против течения. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения 2 км/ч.
S,км V,км/ч t,ч
По течению (Х +2)×2,5 Х + 2 2,5
Против течения 3,6 Х - 2 (Х – 2)×3,6

2,5×(Х + 2) + 7,6 = 3,6(Х – 2)
б) движение в разных и в одном направлении:
С одной станции выехал поезд со скоростью 48 км/ч, а через 2 часа с другой станции навстречу ему вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Расстояние между станциями 528 км. Сколько времени в дороге был каждый поезд до встречи?
Рассмотрим чертеж к этой задаче:


2)
Какое расстояние прошел первый поезд за 2часа? 48×2 = 96(км)
Какое расстояние стало между поездами с момента выхода второго поезда? 528 – 96 = 432(км)
До встречи они были в дороге одинаковое количество временами?
Обозначив это время за Х, составим уравнение:
48Х + 60Х = 432
108Х = 432
Х = 4.
4 часа был в дороге второй поезд 4 + 2 = 6(ч) был в дороге первый поезд с момента своего выхода.
Ответ: 4часа и 6 часов.

Из пункта А в пункт В одновременно выехали автомобиль и мотоцикл. Когда через 2,2 часа автомобиль прибыл в пункт В, мотоциклу до этого пункта осталось проехать еще 66 км. Найти расстояние между пунктами, если скорость автомобиля в 1,5раза больше, чем мотоцикла.
Сделаем чертеж к этой задаче:

Заполним таблицу:
V, км/ч S, км t, ч
Мотоцикл Х 2,2Х + 66 2,2
Автомобиль 1,5Х 1,5Х×2,2 2,2

Составим и решим уравнение:
1,5Х×2,2 = 2,2Х + 66
III Домашнее задание: § 1-3;
№92, 122;
решить уравнения к классным задачам.

Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».
I Проверка домашнего задания:

Решение уравнения к классной задаче:
1,5Х×2,2 = 2,2Х + 66
3,3Х = 2,2Х + 66
1,1Х = 66
Х = 60.
60( км/ч) – скорость мотоцикла,
1,5×60 = 90 (км/ч) – скорость автомобиля.
Ответ: 60 км/ч и 90 км/ч.

№ 92
По течению: 18 + Х км/ч
Против течения: 18 – Х км/ч

№ 122
Х (км/ч) – скорость течения.
14 + Х (км/ч) – скорость по тече нию реки
14 – Х (км/ч) – скорость против течения реки.
Составим и решим уравнение:
63 + 4,5Х = 84 – 6Х
4,5Х + 6Х = 84 – 63
10,5Х = 21
Х = 21÷10,5
Х = 2.
Ответ: 2км/ч.

II
IIІ Подведение итогов уроков.
Самостоятельная работа:
Вариан 1 Вариант 2
Теория:
Что называется уравнением?
Что значит решить уравнение?
Какое уравнение называется линейным с одной переменной?
Сформулируйте основные свойства уравнений.
Какой алгоритм решения задачи с помощью уравнения? 1.Что называется корнем уравнения с одной переменной?
2. Какие уравнения называются равносильными?
3. При каком условии уравнение аХ = b не имеет решения?
4. Из каких этапов состоит решение задач методом математического моделирования?
5. Какой алгоритм решения задачи с помощью уравнения?
Решите уравнение:
26 – 4Х = 12Х - 7(Х + 4) 3Х – 9(Х – 5) = -11 + 2Х
Решить задачу:
В двух мешках находится 82кг картошки, причем в другом мешке на 18кг больше картошки, чем в первом. Сколько кг картошки в каждом мешке? В двух мешках находится 78кг свеклы, причем в первом мешке на 24кг свеклы меньше, чем во втором. Сколько кг свеклы в каждом мешке?

IV Домашнее задание:
§ 1-3; Задачи:

Периметр треугольника 32 см. Найти длину каждой стороны треугольника, если длина первой стороны на 3 см больше,длины второй, а длина третьей - на 10 см меньше суммы длин двух первых сторон.
Первый велосипедист преодолевает расстояние между пунктами А и В за 28 мин., а второй – за 48 мин. Скорость первого велосипедиста больше скорости второго на 5 км/час. Найти скорость каждого велосипедиста и расстояние между пунктами.
Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».
Подготовка к контрольной работе
І Решения задач:
Найдите значение выражений: 1) 62 – 1,2×52; 2) Х20÷Х10; 3) Х6×Х2; 4) (Х2)8 и укажите правильные ответы:
А) 5; Б)6; В)7; Г)8.
А) Х200; Б)Х2; В)Х30; Г)Х10.
А) Х12; Б)Х2; В)Х30; Г)Х4.
А) Х16; Б)Х4; В)Х6; Г)Х10.
Представьте в виде многочлена:
(24Х2 + 6Х – 11) – (13Х2 – 14Х + 13);
(Х4 – 3Х3 – Х2 – Х – 1) + (2Х4 – Х3 – 2Х2 + Х – 1).
Преобразуйте выражения в одночлены стандартного вида:
4a2 b×(-3a2 b4);
(-6a4 b2)2;
((Х^2 )^7×X^8)/((X^2 )^4 ).
Вычислите
(4^5×8^4)/〖32〗^4 ;
(2 1/6 )^4 ×( 6/13 )^5;
4,5a2b(-0,4ab3)3.
Доведите, что значение выражения (5n + 1) – 3(4 – 2n) кратное 11 при любом натуральном значении n.
Значение переменных Х и Y такие, что 7ХY = -4. Найдите при тех же самых значениях переменных значение выражений:
-4,6X2Y;
14X4Y2
Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».
Подготовка к контрольной работе
І Решения заданий по теме
(2 балл а). Решите уравнения и укажите правильный ответ:
26 – 2Х = 4Х – 24; 2) 2(Х – 3) – (4 – 3Х) = 7
а) 5; б) 25; в) -5; г) 10;
а) 8; б) 4; в) 1; г) -4.
(1 балл). Решите уравнение
(42 – 7у) (0,24 + 0,3у) = 0
(3 балла). Продавец продал за три дня 424 кг овощей. За первый день он продал овощей на 20 кг больше, чем за второй день, а за третий – в 1,4 раза больше, чем за первый день. Сколько овощей было продано каждый день?
(1 балл). Найти корень уравнения
0,3 + 1/5(Х – 3) = 1/2(2Х + 3) – 0,2Х.
(2 балла). От пристани А к пристани В по течению реки катер проплыл за 6 часов, а от пристани В до А – 8 часов. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,5 км∕час.
(3 балла). 1) При каком значении а уравнение (а – 6)Х + 6 = а имеет любой корень?
Решите уравнение 3│Х│ - 10 = Х.
ІІ Домашнее задание: § 1-3,
по желанию выбор уровней и решение заданий из данных уровней.

Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».

Контрольная работа по данной теме.

І вариант
(2 балла). Решите уравнения и укажите правильные ответы:
5Х – 4 = 2Х + 17; 2) 4(Х – 3) = 2Х – 10
а) 2; б) 7; в) 4; Г) 3;
а) 4; б) -2; в) 1; г) -3.
(1 балл). Решите уравнение
(2,1 – 0,3Х) (45 – 75Х) = 0.
(3 балла). В двух компьютерных классах подключено 21 компьютер, причем в одном классе их в 1,1 раза больше, чем в другом. Сколько компьютеров в каждом классе?
(1 балл). Найдите корень уравнения
1/15(2Х – 4) = 2/3 + 2/5(Х + 1).
(2 балла.) Из станции А к станции В, расстояние между которыми 470 км, вышел поезд, а через час навстречу ему из станции В вышел другой поезд, который за час проходит на 6 км больше, чем первый. Поезда встретились через 5 часов после выхода второго поезда из станции В. Найти скорость каждого поезда.
(3 балла). 1) При каком значении а уравнение (5 + а) ∙ Х = 8 – 4а имеет корень, равный 3?
Решите уравнение │2Х - 3│= 6 – 2Х.
ІІ вариант

(2 балла). Решите уравнения и укажите правильные ответы:
6Х – 2 = 4Х + 8; 2) 3Х – 4 = 2(Х – 2)
а) -4; б) 5; в) 4; г) 2;
а) -1; б) 1; в) 0; г) 2.
(1 балл). Решите уравнение
(2У – 0,18) (1,8 + 0,4У) = 0.
(3 балла). Проволоку длинной 237 м разрезали на три части, причем первая часть в 5 раз длиннее третьей, а вторая – на 34 м длиннее третьей. Найти длину каждой части.
(1 балл). Найти корень уравнения
1/12(3Х + 2) - 1/4Х = 1/6(2Х – 5).
(2 балла). Лодка плыла по течению реки 1, 8 часа, а против течения – 2,4 часа. Путь, который прошла лодка по течению, оказался на 2,4 км меньше, чем против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения 2 км/час.
(3 балла). 1) При каком значении а уравнение 4аХ = 28 имеет корень, равный 7?
Решите уравнение │2Х + 1│ - 4 = 5Х.
Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений».
Анализ контрольной работы.

Рассмотреть задания № 2, 4, 5 ( по готовой таблице), 6 из любого одного варианта, а из противоположного задать домашним заданием.

№ 2 (вариант 2)
(2,1 – 0, 3Х) (45 – 75Х) = 0
Решение:
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0,т.е.
2,1 – 0,3Х = 0 или 45 – 75Х = 0
0,3Х = 2,1 75Х = 45
Х = 2,1÷0,3 Х = 45÷75
Х = 7 Х = 0,6
Ответ: 0,6; 7.
№ 4
1/15 (2Х – 4) = 2/3 + 2/5 (Х + 1) │∙ 15
2Х – 4 = 10 + 6Х + 6
2Х – 6Х = 16 + 4
-4Х = 20
Х = -5
Ответ: -5.
№ 5
Решим задачу по данному чертежу

470 км
Запишем данные в таблицу
S,км V,км/ч t,ч
1 поезд 6Х Х 6
2 поезд 5( Х + 6 ) Х + 6 5
Составим и решим уравнение:
6Х + 5(Х + 6) = 470
6Х + 5Х + 30 = 470
11Х = 470 – 30
11Х = 440
Х = 40
40 + 6 = 46(км/ч)
Ответ: 40 км/ч; 46 км/ч.
№ 6
При каком значении а уравнение (5 + а) ∙ Х = 8 – 4а имеет корень, равный 3?
Решение: Так как Х = 3, то подставив в условие значение Х, имеем уравнение:
(5 + а) ∙ 3 = 8 – 4а
15 + 3а = 8 – 4а
3а + 4а = 8 – 15
7а = -7
а = -1
Решим уравнение:
│2Х - 3│ = 6 – 2Х
2Х – 3 = 6 – 2Х -(2Х – 3) = 6 - 2Х
2Х + 2Х = 6 + 3 -2Х + 3 = 6 – 2Х
4Х = 9 -2Х + 2Х = 6 -3
Х = 21/4 0Х = 3
Корней нет
Ответ: 21/4.

Кiлькiсть переглядiв: 200